Imię i nazwisko: Tomasz Grewenda

Afiliacja: Uniwersytet Jagielloński

Tytuł referatu: Non-commutative geometry: from spectra of operators to the Standard Model of Particle Physics.

Abstrakt: I introduce the Alain Connes' approach to manifolds via the algebra of continuous functions and the spectra of pseudodifferential operators. As its foundational principle, one can reconstruct the geometry and topology of a space using the spectral triple $(\mathcal{A}, \mathcal{H}, D)$ together with the Gelfand-Naimark theorem. This allows a rigorous analysis of quantum spaces by dropping the notion of a classical "point" and introducing a non-commutative $C^*$-algebra $\mathcal{A}$ represented on a Hilbert space $\mathcal{H}$ (the spinor bundle, by default) accompanied by a distinguished Dirac operator $D$. Furthermore, I present applications of the Connes' spectral approach in physics as a paradigm governing the Standard Model of Particle Physics.

Imię i nazwisko: Radosław Zając

Afiliacja: Uniwersytet Jagielloński

Tytuł referatu: Archmiedesowi na złość, czyli opowieść o teorii ciał niearchmiedesowych.

Abstrakt: Podczas referatu zagłębimy się w tajemnicze rejony ciał niearchmiedesowych, których modelowym przykładem jest ciało liczb p-adycznych $Q_p$. W naszych rozważaniach pójdziemy dalej, wyprowadzimy tą teorię od podstaw i w miarę możliwości poprzemy ją przykładami, w celu lepszego jej zrozumienia. Zakończymy nasze spotkanie wprowadzeniem algebr Tate'a i kilkoma uwagami na ich temat.

Imię i nazwisko: Jan Pulkowski

Afiliacja: Uniwersytet Jagielloński

Tytuł referatu: Jak zaprojektować metro - matematyczne modele transportu publicznego i ich optymalizacja

Abstrakt: Zastanawiało was kiedyś jak powinno wyglądać szumnie zapowiadane krakowskie metro i jak zdecydowano którędy je poprowadzić? Okazuje się, że odpowiedzi da się całkiem precyzyjnie wyznaczyć. W funkcjonowaniu i planowaniu komunikacji miejskiej ścierają się dwie, sprzeczne siły. Podróżni mają swoje potrzeby - chcą dojechać stosunkowo blisko celu, w sensownym czasie, a operatorzy - techniczne i budżetowe ograniczenia. Posiadając dane o zapotrzebowaniu na kursy między konkretnymi punktami, możliwa jest optymalizacja linii środka transportu, w sposób który maksymalizuje wygodę pasażera, jednocześnie biorąc pod uwagę możliwości przewoźnika. W referacie omówię modele programowania matematycznego uwzględniające oba te aspekty doboru linii transportu, możliwe do zoptymalizowania za pomocą metod programowania całkowitoliczbowego. Skupię się na problemie wyboru optymalnego zbioru linii przy ustalonej z góry puli i kosztach, w sposób który maksymalizuje komfort pasażerów, rozumiany przez czas ich przejazdu, licząc przesiadki. Przybliżę ideę programowania matematycznego i jej zastosowania - dwie propozycje rozwiązania powyższego problemu obecne w literaturze: proponowane przez Anitę Schoebel i Susanne Scholl ("Line Planning with Minimal Traveling Time") zapewnienie środków transportu wszystkim pasażerom oraz model Karla Nachtigalla i Karla Jeroscha ("Simultaneous Network Line Planning and Traffic Assignment"), w którym pasażer pojedzie komunikacją zbiorową tylko jeżeli jest dostatecznie szybka.

Imię i nazwisko: Jakub Sokołowski

Afiliacja: Politechnika Wrocławska

Tytuł referatu: Twierdzenie Monsky'ego

Abstrakt: Twierdzenie Monsky'ego mówi, że kwadratu nie da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach. Udowodnił je Paul Monsky w roku 1970. Mimo bardzo prostego sformułowania twierdzenie to ma zaskakująco ciekawy dowód. Korzysta się w nim z takich narzędzi jak normy $p$-adyczne oraz lemat Spernera. W moim referacie przybliżę te pojęcia i opowiem o dowodzie twierdzenia Monsky'ego.

Imię i nazwisko: Monika Brattig

Afiliacja: Uniwersytet Wrocławski

Tytuł referatu: Jak zwinąć drzewo w mapę?

Abstrakt: Zrozumienie asymptotycznych właściwości dużych losowych grafów osadzonych na powierzchniach to jedno z fascynujących wyzwań współczesnej teorii prawdopodobieństwa i kombinatoryki. W referacie opowiemy o badaniu granic skalowania losowych kwadrangulacji, czyli map planarnych, w których każda ściana ograniczona jest dokładnie czterema krawędziami. Głównym narzędziem analitycznym, które pozwala na pracowanie na tych skomplikowanych strukturach, jest bijekcja Cori-Vauquelina-Schaeffera (CVS). Umożliwia ona wzajemnie jednoznaczne kodowanie kwadrangulacji za pomocą tak zwanych drzew z etykietami. Drzewo z etykietami to nic innego jak płaskie drzewo ukorzenione, w którym każdemu wierzchołkowi przypisano liczbę całkowitą w taki sposób, że korzeń ma zawsze wartość $0$, a wzdłuż każdej krawędzi etykieta może zmienić się o co najwyżej $1$ w wartości bezwzględnej. To z pozoru proste kodowanie ma potężne konsekwencje: etykiety na drzewie w sposób ścisły determinują odległości w odpowiadającej mu mapie od pewnego wyróżnionego wierzchołka. Dzięki temu, przenosząc problem z grafów na łatwiejsze do analizy drzewa, możemy badać ich właściwości metryczne. Podczas referatu pokażemy, że ciąg losowych kwadrangulacji o $n$ ścianach, po odpowiednim przeskalowaniu metryki przez czynnik $n^{-1/4}$, posiada granicę w sensie odległości Gromova-Hausdorffa. Ta losowa ciągła przestrzeń metryczna nosi nazwę Mapy Browna. Na końcu omówimy jej niezwykłe własności geometryczne i topologiczne. Mimo że przestrzeń ta powstaje z "posklejanego" drzewa, udowodniono, że prawie na pewno ma ona wymiar Hausdorffa równy $4$ oraz jest homeomorficzna ze sferą dwuwymiarową $\mathbb{S}^2$.

Imię i nazwisko: Ksawery Adamczyk

Afiliacja: Uniwersytet Warszawski

Tytuł referatu: Krótki wstęp do geometrii dużej skali

Abstrakt: Celem tej pracy jest zapoznanie słuchaczy z podstawowymi pojęciami wykorzystywanymi w geometrii dużej skali. Postaram się przedstawić geometryczne spojrzenie na teorię grup, wprowadzając na owych grupach strukturę przestrzeni metrycznych oraz konstrukcję grafów Cayleya. Na początku przypomnę przydatne pojęcia z algebry, w dalszej części referatu pokażę również definicje, jak i przykłady quasi-izometrii czy zgrubnych równoważności. Poprzez przedstawienie m.in. naturalnych intuicji i idei dowodów, osoby słuchające zachęcane są do analizy/głębszego zastanowienia się nad własnościami D-sieci i przestrzeni dyskretnych.

Imię i nazwisko: Rai Ciszewska

Afiliacja: Politechnika Wrocławska

Tytuł referatu: Kiedy równania spotykają losowość: Dynamika modeli epidemiologicznych w świetle symulacji Monte Carlo

Abstrakt: W dobie globalnych wyzwań zdrowotnych, precyzyjne zrozumienie mechanizmów rozprzestrzeniania się chorób zakaźnych pozostaje kluczowym zadaniem współczesnej nauki. Referat stanowi kompleksowe przejście od klasycznych, deterministycznych modeli matematycznych do zaawansowanych symulacji stochastycznych, obrazujących dynamikę epidemii. Wystąpienie rozpocznie się od wyprowadzenia fundamentalnego modelu różniczkowego SIR (Podatni, Zakażeni, Wyzdrowiali) oraz zdefiniowania podstawowej liczby odtwarzania ($R_0$). Następnie, omówione zostaną istotne rozszerzenia tego modelu. Szczególna uwaga zostanie poświęcona wariantom uwzględniającym dodatkowe stany populacyjne, w tym modelowi q-SIRQD, który integruje wpływ kwarantanny, ekspozycji oraz śmiertelności na ostateczny bilans zakażeń. Kluczowym punktem prezentacji będzie zderzenie idealistycznego podejścia deterministycznego ze stochastyczną naturą rzeczywistości. Za pomocą przeprowadzonych symulacji Monte Carlo zaprezentowane zostaną wykresy obrazujące ewolucję epidemii w czasie. Słuchacze będą mieli okazję zaobserwować, w jaki sposób losowość zdarzeń oraz manipulacja poszczególnymi parametrami (np. skutecznością kwarantanny) wpływają na spłaszczanie krzywej zachorowań. Celem referatu jest pokazanie, jak synergia matematyki, biologii i programowania pozwala nie tylko opisywać, ale i przewidywać skomplikowane zjawiska epidemiologiczne.

Imię i nazwisko: Emilia Porczyńska

Afiliacja: Politechnika Wrocławska

Tytuł referatu: Próbkowanie Gibbsa w praktyce: od teorii łańcuchów Markowa do zastosowań bayesowskich

Abstrakt: W referacie omówiona zostanie metoda próbkowania Gibbsa jako szczególny przypadek metod Monte Carlo opartych na łańcuchach Markowa (MCMC). W pierwszej części przedstawione zostaną podstawowe pojęcia teorii łańcuchów Markowa. Następnie zaprezentowana zostanie konstrukcja algorytmu Gibbsa oraz intuicja stojąca za jego zbieżnością do rozkładu docelowego. W drugiej części referatu omówione zostanie zastosowanie metody do symulacji z wielowymiarowego rozkładu normalnego. Na podstawie przeprowadzonych symulacji przedstawiony zostanie wpływ korelacji między zmiennymi na tempo mieszania łańcucha oraz praktyczne aspekty implementacji algorytmu, takie jak zjawisko burn-in i autokorelacja próbek.

Imię i nazwisko: Anna Prucnal

Afiliacja: Uniwersytet Jagielloński

Tytuł referatu: Analiza funkcji p-adycznych

Abstrakt: W referacie zostaną omówione wybrane zjawiska analizy p-adycznej w ciele $Q_p$ pokazujące, że intuicja z analizy rzeczywistej, zwłaszcza ta związana z rachunkiem różniczkowym, nie przenosi się do przestrzeni ultrametrycznych. Na początku wystąpienia zostanie przedstawiona topologiczna charakteryzacja ciała $Q_p$ (ultrametryczność, własności kul). Następnie zostaną omówione podstawowe własności ciągłości w $Q_p$, ze szczególnym uwzględnieniem roli struktury ultrametrycznej tej przestrzeni. Ciągłość w $Q_p$ definiuje się standardowo, jednakże ultrametryczna struktura $Q_p$ sprawia, że pojawiają się przypadki nieobecne w analizie rzeczywistej, takie jak nietrywialne funkcje ciągłe i lokalnie stałe. Ponadto na zbiorach zwartych, takich jak $Z_p$, lokalna stałość funkcji pociąga za sobą również jej jednostajną ciągłość. Ostatnią częścią referatu będzie omówienie różniczkowalności w $Q_p$ oraz temu, dlaczego nie zachodzą klasyczne twierdzenia z analizy rzeczywistej, takie jak twierdzenie Rolle’a oraz twierdzenie o wartości średniej. Zostanie zilustrowane, że pochodna stale równa 0 nie pociąga za sobą stałości funkcji oraz przykład funkcji, która jest injekcją o pochodnej stale równej 0. Na koniec zostanie przedstawiony wynik, że nie istnieje surjekcja o pochodnej stale równej 0.

Imię i nazwisko: Michał Mądrala

Afiliacja: Uniwersytet Wrocławski

Tytuł referatu: Struktury pseudoskończone i ich (pseudoskończone) automorfizmy

Abstrakt: Nierzadko nieskończone struktury pochodzą w pewien sposób od struktur skończonych. Jednym z rodzajów takich struktur są struktury pseudoskończone, czyli takie w których każde prawdziwe zdanie ma skończony model. W swoim referacie przybliżę słuchaczom to pojęcie oraz podam jego naturalne przykłady. Zdefiniuję również pojęcie pseudoskończonego automorfizmu i pokażę kilka twierdzeń i nierozwiązanych dotąd przeze mnie problemów z nimi związanych. Referat będzie bazował na mojej pracy licencjackiej z teorii modeli, pisanej pod kierunkiem prof. Ludomira Newelskiego.

Imię i nazwisko: Patryk Nitkowski

Afiliacja: Uniwersytet Jagielloński $\&$ Politechnika Łódzka

Tytuł referatu: Pół-izolowane zera funkcji $\zeta$ i L-funkcji

Abstrakt: Sformułowana w XX wieku hipoteza o gęstości zer funkcji $\zeta$ Riemanna orzeka, że liczba jej zer w pewnych obszarach płaszczyzny zespolonej jest "wystarczająco mała". W roku $2023$ laureat medalu Fieldsa, James Maynard wraz z Kylem Prattem zaproponowali hipotezę słabszą, niż hipoteza Riemanna. Mówi ona, że wszystkie nietrywialne zera funkcji $\zeta$ leżą na skończenie wielu prostych pionowych. Przy założeniu tej hipotezy można otrzymać ciekawe rezultaty związane z występowaniem liczb pierwszych w krótkich przedziałach. Są one niemal tak silne, jak przy założeniu hipotezy Riemanna. Wprowadzili oni również pojęcie tak zwanych pół-izolowanych zer w kontekście funkcji $\zeta$, czyli takich zer, dla których w pewnym otoczeniu na prawo oraz poniżej nie wystąpi inne zero. Co ciekawe dla tych specyficznie zdefiniowanych zer zachodzi pewna wersja hipotezy o gęstości. Podczas referatu zaprezentuję wcześniej wspomniane wyniki oraz obecny stan wiedzy dotyczący tych zagadnień, które były rozważane w kontekście L-funkcji. Przedstawię również kilka swoich pomysłów na dalszy rozwój tej teorii.

Imię i nazwisko: Mateusz Rajzer

Afiliacja: Uniwersytet Rzeszowski

Tytuł referatu: Symbole Manina i obliczenia w przestrzeniach form modularnych wagi 2

Abstrakt: Formy modularne wagi 2 względem grupy kongruencji $\Gamma_0(N)$ stanowią kluczowy obiekt współczesnej teorii liczb, łącząc analizę zespoloną z geometrią algebraiczną i arytmetyką. Ze względu na ich definicję analityczną jako funkcji holomorficznych na górnej półpłaszczyźnie, bezpośrednie obliczenia w tych przestrzeniach są nietrywialne. W referacie przedstawiona zostanie metoda symboli modularnych, umożliwiająca efektywny opis obliczeniowy przestrzeni form modularnych poprzez ich identyfikację z grupą homologii krzywej modularnej $X_0(N)$. Omówione zostanie twierdzenie Manina, pozwalające na redukcję nieskończonej struktury grupy $\Gamma_0(N)$ do skończonej prezentacji przy użyciu symboli Manina oraz ułamków łańcuchowych. Wskazane zostanie również, w jaki sposób podejście to pozwala na jawną, macierzową realizację operatorów Heckego i wyznaczanie q-rozszerzenia form modularnych.

Imię i nazwisko: Emilia Macek

Afiliacja: Uniwersytet Jagielloński

Tytuł referatu: Kosmiczne autostrady, czyli na czym polega Interplanetary Transport Network

Abstrakt: Tradycyjne manewry orbitalne statków kosmicznych wymagają ogromnych nakładów paliwa. Co jednak, gdybyśmy potrafili wykorzystać naturalne, grawitacyjne "prądy" Układu Słonecznego? Referat przybliży matematyczne fundamenty Interplanetary Transport Network (ITN) - sieci niewidzialnych szlaków kosmicznych. Wychodząc od Ograniczonego Kołowego Problemu Trzech Ciał (CR3BP) i analizy punktów Lagrange'a, spojrzymy na mechanikę nieba przez pryzmat teorii układów dynamicznych. Zobaczymy również, w jaki sposób rozmaitości niezmiennicze oraz przekroje Poincarégo pozwalają wyznaczyć w wielowymiarowej przestrzeni fazowej geometryczne "tuby", dzięki którym współczesne sondy kosmiczne mogą przemierzać Układ Słoneczny niemal za darmo.

Imię i nazwisko: Katarzyna Zdancewicz

Afiliacja: Politechnika Białostocka

Tytuł referatu: Kryptografia krzywych eliptycznych jako przykład matematyki w ochronie danych

Abstrakt: Referat poświęcony jest krzywym eliptycznym i ich roli we współczesnej kryptografii. Na początku przedstawione zostanie pojęcie krzywych eliptycznych oraz najważniejsze własności matematyczne. Następnie omówiona zostanie kryptografia oparta na krzywych eliptycznych, stanowiąca efektywną alternatywę dla tradycyjnych metod szyfrowania. ECC pozwala osiągnąć wysoki poziom bezpieczeństwa przy użyciu znacznie krótszych kluczy, co przekłada się na większą wydajność i mniejsze zużycie zasobów. Kolejna część pracy poświęcona będzie algorytmowi ECDSA, wykorzystywanemu do generowania i weryfikacji podpisów cyfrowych. Mechanizm ten gwarantuje autentyczność nadawcy oraz integralność przesyłanych danych. Referat ma na celu pokazanie, dlaczego rozwiązania bazujące na krzywych eliptycznych odgrywają obecnie kluczową rolę w systemach kryptograficznych i są szeroko stosowane w praktyce.

Imię i nazwisko: Filip Zieliński

Afiliacja: Uniwersytet Jagielloński

Tytuł referatu: Izomorfizm gładkich kwadryk na $\mathbb{P}^3$ z $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$.

Abstrakt: Opis krzywych w wyżej wymiarowych przestrzeniach jest w geometrii algebraicznej problemem ważnym i nieoczywistym. Już od wymiaru 3 nie znamy odpowiedzi na wiele podstawowych pytań dotyczących niezdegenerowanych do płaszczyzny krzywych. Jednym z klasycznych narzędzi stosowanym do rozwiązywania takich problemów jest degeneracja krzywych do gladkiej kwadryki. Dzięki zanurzeniu Segre $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \rightarrow \mathbb{P}^3$, które pozwala utożsamiać iloczyn prostych rzutowych z gładkimi kwadrykami na $\mathbb{P}^3$, możemy sprowadzać skomplikowane zagadnienia do dobrze opisanej przestrzeni. Podczas referatu zaprezentuję podstawowe własności wielomianów bijednorodnych rozważanych na $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$, dowiodę ww. izomorfizmu i pokażę jakie ma zastosowanie w dowodach.

Imię i nazwisko: Michał Falbogowski

Afiliacja: AMU Poznań

Tytuł referatu: Od rzutu monetą do klastrów: Przegląd modeli grafów losowych

Abstrakt: Losowe grafy leżą u podstaw współczesnej nauki o sieciach, oferując eleganckie probabilistyczne narzędzia do modelowania i analizy złożonych systemów – od Internetu i mediów społecznościowych, przez połączenia w mózgu, aż po rozprzestrzenianie się epidemii. Ten wykład stanowi przystępne, przyjazne dla studentów wprowadzenie do pięciu fundamentalnych modeli losowych grafów oraz ich zaskakujących powiązań. Zaczniemy od klasycznych modeli Paula Erdősa i Alfréda Rényi’ego – G(n,p) oraz G(n,m) – wyjaśnimy ich asymptotyczną równoważność oraz zjawisko uderzających przejść fazowych, w tym pojawianie się krawędzi, powstawanie olbrzymiej składowej oraz zanikanie izolowanych wierzchołków. Praktyczne znaczenie tych modeli zilustrujemy na przykładach teorii perkolacji, epidemiologii oraz ich roli jako modeli bazowych (null models) w nauce o sieciach. Następnie omówimy model małego świata autorstwa Duncana Wattsa i Stevena Strogatza, który łączy wysoką lokalną klasteryzację z krótkimi globalnymi ścieżkami – strukturę często obserwowaną w rzeczywistych sieciach, takich jak drogi istoty białej w ludzkim mózgu czy sieci politycznych sympatyków. Porównamy właściwości małego świata z sieciami bezskalowymi (scale-free) i przyjrzymy się prostemu, a zarazem potężnemu mechanizmowi przekablowywania (rewiring). Kolejno przedstawimy model Fana Chung i Linyuan Lu, który pozwala generować grafy o dowolnie zadanym oczekiwanym ciągu stopni wierzchołków. W zakończeniu zajmiemy się eleganckim modelem losowego klastra (random-cluster model) wprowadzonym przez Ceesa Fortuina i Pita Kasteleyna. Ten zunifikowany formalizm łączy perkolację Bernoulliego, model Isinga oraz model Pottsa, ukazując głębokie związki między prawdopodobieństwem, fizyką statystyczną i zjawiskami krytycznymi. Przez cały wykład szczególny nacisk położymy na progi krytyczne, przejścia fazowe oraz rzeczywiste zastosowania, przy jednoczesnym zachowaniu przystępności matematycznej. Nie zakładamy wiedzy wykraczającej poza podstawy rachunku prawdopodobieństwa i teorii grafów. Celem prezentacji jest pokazanie, dlaczego kluczowe pojęcia z teorii losowych grafów warto zgłębiać matematycznie – motywowane ich różnorodnymi zastosowaniami w rzeczywistym świecie. Słowa kluczowe: losowe grafy, sieci małego świata, perkolacja, model Isinga, nauka o sieciach