Zakwalifikowane referaty
G. Antas, UW Wybrane związki między liczeniem dziur i pętli a mnożeniem wektorów
Teoria homologii powstała jako owoc poszukiwań sposobów klasyfikowania rozmaitości poprzez opisywanie pętli i innych podrozmaitości, które można na nich narysować oraz sposobów na ciągłe deformowanie jednych w inne. To podejście okazało się bardzo efektywne, a do tego znalazło zastosowania w różnych dziedzinach matematyki, fizyce i informatyce. Wprowadzę pojęcia homologii i kohomologii skupiając się na przypadku sfer i przestrzeni rzutowych. Zobaczymy, jaki mają one związek z algebrami z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Przedstawię dowód twierdzenia Hopfa z 1940 roku, którego do dzisiaj nie udało się udowodnić metodami czysto algebraicznymi.
M. Brattig, UWr Dowody na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych
Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych jest jednym z fundamentalnych problemów matematycznych, które budziło zainteresowanie wielu matematyków na przestrzeni wieków. W referacie przedstawiam dowód Euklidesa, który jest jednym z najstarszych dowodów na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych. Następnie wprowadzam Twierdzenie Lagrange'a przy omawianiu liczb Marsenne'a. W dalszej części referatu prezentuję dowód oparty na elementarnym rachunku różniczkowym i całkowym, który pozwalaja ugruntować naszą pewność co do tezy. Celem referatu jest przedstawienie dowodów i teorii pomagającym nam lepiej zrozumieć i docenić znaczenie liczb pierwszych w matematyce.
D. Chańko, PG Czy każde continuum nierozcinające płaszczyzny posiada Własność Punktu Stałego?
Słynne Twierdzenia Brouwera orzeka, że każde odwzorowanie ciągłe kuli domkniętej w siebie posiada punkt stały. Pojęcie to później zostało uogólnione na dowolne przestrzenie topologiczne i aktualnie znane jest pod nazwą Własności Punktu Stałego. Przestrzeń topologiczna X posiada Własność Punktu Stałego (w skrócie WPS), jeżeli dowolne odwzorowanie ciągłe $f\colon X\rightarrow X$ posiada punkt stały. W niniejszym referacie omówimy podstawowe własności z tym związane, podamy ciekawe przykłady i kontrprzykłady przestrzeni posiadających WPS oraz postawimy sobie pytanie, czy każde continuum nierozcinające płaszczyzny też ją posiada.
J. Chmiel, PK Matematyczna Droga do Altruizmu
Skąd wziął się altruizm? I czy prawdziwy altruizm istnieje? Zaskakujące jest, że odpowiedzi na te pytania może nam przynieść matematyka. W mojej prezentacji opowiem o tym jak teoria gier dowodzi, że warto być dobrym człowiekiem i przyjrzymy się bliżej iterowanemu dylematowi więźnia.
K. Fahmi, UW Czym jest liczba porządkowa?
Na wykładzie zajmę się tematyką liczb porządkowych. Przypomnę wybrane aksjomaty ZFC, oraz definicję dobrego porządku. Wprowadzę pojęcie zbioru przechodniego oraz liczby porządkowej. Pokażę definicję omegi, dodawania i mnożenia liczb porządkowych, oraz przedstawię podstawowe własności tych działań (brak przemienności, twierdzenie o dzieleniu z resztą). Będę korzystał z wielu intuicyjnych przykładów i rysunków, które ułatwią zrozumienie omawianych pojęć. Bez względu na to, czy uczestnicy są doświadczeni w matematyce czy też nie, wykład zapewni im możliwość odkrycia podstawowych aspektów liczb porządkowych.
B. Furmanek, UJ Homologie Persystentne, czyli jak topologia pomaga w analizie danych
Teoria homologii jest bardzo przydatnym narzędziem pojawiającym się w wielu dziedzinach matematyki. Okazuje się, że ma także zastosowania w analizie danych, pod postacią homologii persystentnych. Mówiąc obrazowo, dla ustalonego zestawu danych mierzymy, jak bardzo jest on dziurawy. Prezycyjnie, jeśli dane to zestaw punktów w $\mathbb{R}^n$ budujemy odpowiedni ciąg kompleksów symplicjalnych i liczymy ich grupy homologii, z którego możemy uzyskać tzw. barcode lub diagram persystencji (które opisują "czas życia dziur"). Podczas wystąpienia wyjaśnię pojęcia potrzebne do zrozumienia tematu, po czym przyjrzymy się przykładom zastosowania homologii persystentnych.
Ł. Gorczyca, UJ Dlaczego dla dobra nauki warto zaopatrzyć się w kosz na śmieci? Krótko o problemie śpiącej królewny
Jak głosi pewien znany żart, różnica pomiędzy filozofem i matematykiem jest dość subtelna. Matematyk do pracy potrzebuje kartki, ołówka i kosz na śmieci. Filozof zaś potrzebuje tylko kartki i ołówka. Ta bezlitosna konfrontacja spekulacji myślowych jest zdaniem niektórych duszą matematyki. W swoim referacie pokażę, że mimo wszystko warto zaopatrzyć się we wspomniany zbiornik na niespójne myśli. W tym celu wezmę na tapet oryginalnie nazwany Sleeping Beauty Problem, który rozważał pierwotnie filozof Adam Elga na przełomie XX i XXI wieku, a następnie stał się źródłem dysput wielu innych filozofów, które stawały w sprzeczności z klasycznym rachunkiem prawdopodobieństwa znanym już z liceum. Problem śpiącej królewny, zwany również paradoksem, polega na przeprowadzeniu eksperymentu, w którym osoba badana - śpiąca królewna, jest z góry informowana o jego przebiegu. Załóżmy jednak teraz, że to Wy, czytający ten abstakt, chcecie wcielić w osobę badaną. W niedzielę - pierwszego dnia eksperymentu jesteście informowani o szczegółach badania, a następnie zasypiacie i następuje rzut monetą. Od teraz, do czasu zakończenia eksperymentu nie macie świadomości, ile razy byliście budzeni. Jeśli wypadnie orzeł, zostajecie obudzeni w poniedziałek, a jeśli wypadnie reszka, zostajecie obudzeni zarówno w poniedziałek jak i we wtorek. Eksperyment kończy się w środę. Za każdym razem, gdy zostajecie budzeni, zadawane jest Wam pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadł orzeł? Przyjmujemy dodatkowo, że jesteście bardzo wykształconymi probabilistami! Problemem jest to, co powinniście odpowiedzieć? Okazuje się, że filozofowie, bez matematycznego wykształcenia, nie są zgodni na tym polu. W swoim referacie przedstawię i obalę pewne argumenty Elgi stojące z przecznością z rachunkiem prawdopodobieństwa znanym przysłuchującej się mnie widowni. Na koniec opowiem, skąd mogą wynikać różnice w naszym rozumowaniu, a żeby to rozjaśnić wykorzystam modelowanie wspomnianego eksperymentu przy pomocy ergodycznych łańcuchów markowa.
K. Gołębiowski, UJ Moduły ciągłości
Na początku studiów każdy student poznaje definicje ciągłości i jednostajnej ciągłości funkcji. Później pojawia się pojęcie funkcji lipschitzowskie, czasami także hölderowskiej. Te dwa ostatnie są szczególnymi przypadkami wywodzącymi się ogólniejszych bytów, jakimi są tytułowe moduły ciągłości. W referacie zapoznamy się ze wspomnianymi obiektami i uogólnimy twierdzenie, że dla każdej stałej M > 1 oraz każdej funkcji ciągłej f na zwartej przestrzeni metrycznej istnieje taka metryka (zgodna z topologią). że funkcja f jest lipschitzowska ze stałą M.
B. Głowacki, UJ Wstęp do teorii sit
Teoria sit to zbiór technik z analitycznej teorii liczb opartych na ideach kombinatorycznych służących do szacowania obiektów nas interesujących przybliżając je do struktur dobrze przez nas rozumianych. W tym referacie omówimy podstawowe techniki konstrukcji sit, korzyści i ograniczenia wynikające z ich użycia, oraz ich role we współczesnych rezultatach z teorii liczb.
M. Hontarenko, UJ Związek konforemnej teorii pola i geometrii algebraicznej
Naturalnym rozszerzeniem pojęcia cząstek, które propagują w czasoprzestrzeni, tworzą krzywe geodezyjne, jest rozpatrywanie struny, która tworzy dwuwymiarową powierzchnię rzeczywistą. W wyniku interakcji strun mogą powstać różnego rodzaju krzywe algebraiczne o genusie $g$ i $n$ punktach wyróżnionych (brzegach). Badając model teorio polowy (kwantowy) na krzywej $\Sigma_{g,n}$, uzyskujemy teorię konforemną, która przy 2 wymiarach rzeczywistych ma nieskończoną algebrę symetrii i jest bardzo rozwinięta w środowisku fizyki matematycznej. W 1991 roku E. Witten sformułował swoją słynną hipotezę, która też jest znana jako twierdzenie Kontsevicza. Celem tego referatu jest pokazanie związku między konforemną teorią pola, Strukturami Airy i przestrzeniami moduli Deligna-Mumforda. Referat będzie zawierał wstęp fizyczny go mechaniki kwantowej i kwantowej teorii pola w podejściu matematycznym, Struktur Airy i też omówienie niezmienników Gromova-Wittena i wzory rekursywne, które zostaną otrzymanie algebraicznie i teorio polowo.
B. Kamiński, PŁ Gdzie znaleźć najwięcej polskości, czyli Uniwersalna Przestrzeń Urysohna.
Choć w $l_{\infty}$ można zanurzyć każdą przestrzeń polską, to ona sama nie jest ośrodkowa, więc tym bardziej polska. Dlatego właśnie podczas referatu skonstruujemy Uniwersalną Przestrzeń Urysohna. Dopuszczając do siebie funkcje dopuszczalne, stworzymy najbardziej polską przestrzeń (co do izometrii).
M. Książkiewicz, UKSW Działanie SAT-solverów na przykładzie rozwiązania zagadek matematycznych
Zaprezentowane zostaną podstawy działania SAT-solverów oraz rozwiązania wybranych zagadek: słynnej „zagadki Einsteina” i zagadki o braciach na rozstajnych drogach (w 3 wersjach - podstawowej, bardziej zaawansowanej i uogólnionej).
M. Leshko, UJ Topos-theoretic approach to the geometry of physics
In this rather informal talk, we shall explain how and why modern topos-theoretic language and higher-geometric language are used to talk about the geometry of physics. Basic knowledge of category theory, differential geometry and some physics is welcome but not necessary.
A. Maskalaniec, UW Rozmaitości różniczkowanle i superrozmaitości jako przestrzenie lokalnie opierścienione
W referacie zaprezentuję algebraiczne podejście do teorii rozmaitości gładkich. W szczególności przedstawię dowód równoważności kategorii rozmaitości różniczkowalnych i przestrzeni lokalnie opierścienionych lokalnie izomorficznych z otwartymi podprzestrzeniami $(\mathbb{R}^n, C^\infty)$. Wykorzystując wprowadzony formalizm zdefiniuję jedno z możliwych uogólnień pojęcia gładkiej rozmaitości – superrozmaitość – obiekt występujący we współczesnych fizycznych teoriach cząstek elementarnych. Następnie zaprezentuję twierdzenie Batchelor-Gawędzkiego opisujące związek pomiędzy superrozmaitościami, a gładkimi wiązkami wektorowymi.
M. Mijakowski, UW Maszerując po promieniach
Algorytm maszerujących promieni jest metodą komputerowego generowania obrazów powierzchni zadanych poprzez funkcje odległości (SDF). W trakcie referatu przybliżę sposób działania algorytmu wraz z prostymi przykładami oraz opowiem jak można tworzyć interesujące sceny za pomocą podstawowych funkcji odległości.
M. Mączka, K. Maciejczyk, PK Macierze i drzewa, czyli jak rachunek macierzowy pomaga określić liczbę drzew spinających graf
Twierdzenie Kirchhoffa o drzewach spinających pozwala obliczyć liczbę tychże drzew w dowolnym spójnym grafie prostym za pomocą dopełnień algebraicznych w tzw. laplasjanie grafu. Jednak ten proces obliczeniowy często bywa uciążliwy. W referacie przedstawimy nowe podejście do wyznaczania liczby drzew spinających, oparte na pojęciu dopełnienia Schura i pewnym elementarnym wyniku z teorii perturbacji macierzy. Podejście to pochodzi z pracy S. Klee i M. T. Stampsa ,,Linear algebraic techniques for spanning tree enumeration" (arXiv:1903.04973). Okaże się, że wymienione powyżej narzędzia teoriomacierzowe w bardzo elegancki sposób upraszczają rachunki dotyczące drzew spinających dla wielu ważnych rodzajów grafów.
M. Mądrala, UWr Zastosowanie teorii modeli: Tw. Axa-Grothendiecka
Podczas referatu postaram się przede wszystkim zapoznać słuchaczy z podstawowymi pojęciami i narzędziami teorii modeli. Twierdzenie Axa-Grothendiecka to świetny przykład zastosowania tego działu matematyki, a jego dowód wykorzystuje kilka ważnych konceptów logiki i kluczowych faktów o teorii ciał algebraicznie domkniętych, które omówię.
P. Nitkowski, UJ Jak dziwna jest funkcja zeta?
Podczas referatu zostanie sformułowane twierdzenie o uniwersalności funkcji zeta Riemanna, które zostało udowodnione w 1975 roku przez Sergeia Michailowitscha Voronina. Przedstawię również uogólnienie tego twierdzenia, które zostało wykazane podczas rozprawy doktorskiej Bhaskara Bagchiego w 1981 roku wraz z ideą jego dowodu.
K. Ochędzan, UJ Kilka słów o chaosie
W ubiegłym wieku ze względu na pojawienie się komputerów nastąpił rozwój wielu dziedzin matematyki. Jedną z tych dziedzin jest ogólnie pojęta teoria układów dynamicznych. Podczas przeprowadzania symulacji coraz częściej napotykano zjawisko - wcześniej opisywane jedynie wstępnie przez matematyków takich, jak Poincare czy Hadamard. Zjawiskiem tym był chaos. Podczas swojej prelekcji opowiem o podstawach teorii chaosu w dyskretnych układach dynamicznych. Mówić będę o chaosie w sensie Devaney’a. Ponadto opowiem również o niezwykłym odkryciu jakiego dokonał Szarkowski, które dotyczyło punktów okresowych.
N. Olszewska, UW W grupie raźniej!
Moje doświadczenie z matematykami nauczyło mnie, że lepiej radzimy sobie ze ścisłymi definicjami niż z ludźmi - dlatego przyjrzymy się jak można zdefiniować i modelować przebywanie w grupie. W tym celu przedstawię model Cucker-Smale'a dla skończonej liczby osobników. Zwrócę uwagę na przypadek symetryczny oraz asymetryczny, jak i różne modyfikacje rozsądne do wprowadzenia zależnie od charakteru rozważanego stada.
Z. Ossowska, UW Magia magicznych kwadratów
Opowiem o tym jak problem równego podziału różnokolorowych zabawek może doprowadzić do ciekawych wyników i jak wiąże się z popularną łamigłówką - magicznym kwadratem. Pokażę jak można policzyć liczbę magicznych kwadratów przy różnych założeniach. Na koniec pomyślimy dlaczego wygląda to inaczej w przypadku magicznego sześcianu.
M. Palczewski, PG Na początku był chaos... a potem to już tylko dolne oszacowanie wykładnika Lapunowa.
Wykładnik Lapunowa jest użytecznym narzędziem do pomiaru wrażliwości na warunki początkowe w układach dynamicznych, a jego wartość dodatnią często uznaje się za oznakę obecności dynamiki chaotycznej. Zajmiemy się badaniami w dziedzinie dynamiki jednowymiarowej, wykorzystując podejście łączące skierowane grafy ważone oraz arytmetykę przedziałową. Przedstawimy opracowany algorytm i oprogramowanie do przeprowadzania rygorystycznych obliczeń numerycznych dolnej granicy ekspansji w dynamice jednowymiarowej. Dokonamy porównania uzyskanych wyników dla wybranych układów dynamicznych z mniej rygorystycznymi przybliżeniami numerycznymi wykładnika Lapunowa oraz omówimy zalety i ograniczenia naszej metody.
M. Pawlikowski, PŁ Kombinatoryczne własności pokryciowe I ich zastosowania
Kombinatoryczne własności pokryciowe to procedury pozwalające wygenerować pokrycie przestrzeni topologicznej używając ciągu pokryć. Pozwalają one w zgrabny sposób ująć własności pojawiające się w różnych obszarach matematyki takich jak teoria wymiaru, topologia, teoria mnogości czy analiza funkcjonalna i umożliwiają stosowanie metod z danego obszaru we wszystkich pozostałych. Jest to obecnie jeden z najpłodniejszych obszarów badań w topologia teorio-mnogościowej. W referacie pokrótce przedstawię historię własności pokryciowych, parę charakteryzacji i ich związki z klasycznymi pojęciami pojawiającymi się w topologii czy analizie rzeczywistej.
A. Prucnal, UJ Jak rozwiązać (całkiem dużo) równań za pomocą origami?
Wyobraź sobie, że masz nieskończenie dużą kartkę papieru. A teraz wyobraź sobie, że za pomocą takiej zwykłej kartki możesz skonstruować pierwiastek sześcienny… W referacie najpierw omówię jak matematycznie zdefiniowana jest konstrukcja origami. Pokażę, w jaki sposób liczby konstruowalne w sensie origami tworzą podciało liczb zespolonych oraz omówię w nim elementarne działania. Następnie zostanie pokazane jak można skonstruować pierwiastek kwadratowy oraz sześcienny. Na koniec dowiemy się dzieje w przypadkach, gdy chcemy skonstruować pierwiastki wyższych stopni.
P. Rutkowski, UW O geometriach torusa
Na torusie można wprowadzić strukturę euklidesową. Zadajemy pytanie: na ile sposobów można to zrobić, czyli o przestrzeń Teichmüllera torusa. Okazuje się, że każdej takie strukturze odpowiada punkt na płaszczyźnie hiperbolicznej. Omówimy, jak wygląda taka odpowiedniość.
P. Rysińki, UJ Jak ulepić rozmaitość - kurs prawie, że praktyczny
Rozmaitość to jest przestrzeń topologiczna lokalnie wyglądająca jak $R^n$ dla ustalonego n, plus garść założeń by wszystko pięknie działało. Bardzo łatwo o proste i (przynajmniej dla mnie) naturalne przykłady, dla n=0 przestrzeń dyskretna, dla jedynki, odcinek lub okrąg, w wymiarze drugim sfera, torus albo przestrzeń rzutowa. Jednak to są niskie wymiary dla których mamy naturalną intuicję. Problem pojawia się potem, zwłaszcza jeśli chcemy myśleć o rozmaitościach nie będącymi prostymi odpowiednikami z bardzo niskich wymiarów, jak na przykład $S^7$, czy $S^3\times S^4$. Przydałby się więc jakiś sposób na tworzenie bardziej skomplikowanych przykładów z prostych kawałków, lub nawet ogólny zestaw procedur, umożliwiający stworzenie dowolnej rozmaitości (o czym po części opowiem) oraz jakiś algorytm na rozpoznawanie rozmaitości, podobnie jak jesteśmy rzutem oka to zrobić w wymiarze 0,1 i 2 (w ogólności to jest już niezbyt niemożliwe, a czemu, to też trochę opowiem) Głównymi bohaterami referatu będą chirurgie, czyli szereg operacji jakimi jesteśmy w stanie zamieniać rozmaitość w inną, w swoisty sposób “poprawiając ją” lub też czyniąc bardziej patologiczną, w zależności od upodobań. Razem z nimi pojawią się nieodłączne w takiej tematyce rączko-ciała (podstawowy budulec rozmaitości) oraz kobordyzmy (czyli odpowiedź na pytanie, kiedy nasza rozmaitość jest brzegiem innej rozmaitości). Za pomocą tych narzędzi poza odpowiedzią na pytanie czemu nie sposób sklasyfikować 4-rozmaitości opowiemy też czemu 3-rozmaitości zawsze są brzegiem pewnej 4-rozmaitości. Jeśli czas pozwoli to wspomnę też parę słów o rachunku Kirbiego, czyli pięknym narzędziu do rysowania 4-rozmaitości na najzwyklejszej kartce papieru oraz za pomocą plumbingu stworzymy 4-rozmaitość bez struktury różniczkowej. I co najważniejsza, pomijając dygresje, to do zrozumienia ogólnego ducha wykładu nie będzie potrzebna żadna specjalistyczna wiedza z topologii, więc gorąco zapraszam nie tylko pasjonatów topologii, ale też wszystkich chcących wiedzieć czym się tak emocjonujemy.
W. Sikora, UJ Zagadnienia nieskończonej teorii Ramseya
W uproszczeniu, teoria Ramseya to dziedzina kombinatoryki zajmująca się szukaniem regularności wśród nieporządku. W pierwszej części referatu po krótce zarysuję podstawowe idee i wyniki w skończonym wariancie. Następnie, przedstawię luźne odpowiedniki tych zagadnień na nieskończonych strukturach (w tym twierdzenia Erdősa-Rado i Duschnik-Millera). Pokażę również pewne ogólne motywy przydatne w rozwiązywaniu tego typu problemów, szukając substytutu dla klasycznych "szufladkowo-ilościowych" argumentów na dużych liczbach kardynalnych. Jeśli czas pozwoli, powiem parę słów o tym, jak narzucenie prostych warunków topologicznych pozwala na wzmocnienie klasycznego twierdzenia Ramseya dla niektórych kolorowań zbiorów nieprzeliczalnych.
I. Spyrydonov, UJ Representation of dynamical systems by symbolic sequences
Dynamical system is a compact metric space with continuous action on it. We will consider only discrete dynamical systems with invertible transformation. One good example of such systems ia a symbolic shift space - a closed subspace of $A^{\mathbb{Z}}$ (or $A^{\mathbb{N}}$) with product topology, where A is some finite set with discrete topology. Action on that space is shifting the index of a coordinate. Those spaces are good because they are easy to describe and understand (by using finite combinatorics). One of the easy descriptions of that space is by defining the set of forbidden words, and defining our space as the set of all the sequences which does not contain any forbidden word as its subword. Systems which can be described by a finite set of forbidden words appear to be easier to understand. We would like to represent some dynamical systems as those. There is a natural way to associate a symbolic sequence to a point tracking its history through a partition. But in order to get a useful symbolism, one needs to construct a partition with special properties. In this talk we will give some brief introduction to symbolic dynamics and define some conditions on arbitrary dynamical systems to be possible to be represented as a shift of finite type.
B. Szachniewicz, UWr Zastosowania homologii/kohomologii
Podczas referatu przedstawię definicję kategorii abelowej oraz skupie się na potrzebie znajdywania tych kategorii w matematyce. Pokaże nam to dlaczego warto szukać lepszych definicji, które prowadzą do potężnych wniosków. Będzie to referat bardziej poglądowy, niż konkretny. Ma on stanowić motywację do rozpoczęcia nauki algebry homologicznej. Preliminaria to algebra abstrakcyjna i znajomość definicji kategorii, morfizmu.
P. Topór, PG O problemie homeomorfizmów minimalnych
Rozważmy płaszczyznę "nakłutą" skończoną liczbą punktów. Czy istnieje wówczas taki homeomorfizm tejże płaszczyzny na siebie, że pełna orbita każdego punktu jest gęsta? Takie pytanie zostało sformułowane przez Stanisława Ulama jeszcze w latach trzydziestych. Pytanie te znalazło swoje miejsce w słynnej Księdze Szkockiej, a rozwiązanie sformułowanego problemu zajęło matematykom około 60 lat. Francuscy matematycy P. Calvez i J.-C. Yoccoz (laureat Medalu Fieldsa) w roku 1997 odpowiedzieli na ten problem wykorzystując znane narzędzie wywodzące się z topologii algebraicznej tj. Indeks Punktu Stałego. Podczas referatu skupię się na przedstawieniu historii problemu oraz zaprezentowaniu eleganckiego rozumowania, które w pełni odpowiada na pytanie zadane przez Stanisława Ulama.
M. Wójtowicz, UJ Ultrafiltry, uzwarcenie Čecha- Stone’a i kolorowanie
Podczas referatu zaprezentowane zostaną pojęcia i kluczowe własności filtrów oraz ultrafiltrów. Następnie omówimy strukturę topologiczną i algebraiczną przestrzeni złożonej z ultrafiltrów na danym zbiorze. Głównym punktem prezentacji będzie zastosowanie własności owych struktur w dowodzeniu Twierdzenia van der Waerdena – kombinatorycznego twierdzenia dotyczącego kolorowania liczb naturalnych.
W. Wichrowski, UW Twierdzenie o przełęczy górskiej
Wyobraźmy sobie krajobraz z kotliną, otoczoną łańcuchem górskim, za nią leży niżej położone miasto. W moim referacie przedstawię dowód istnienia drogi do miasta przechodzącej przez przełęcz, czyli punkt siodłowy. Aby osiągnąć ten cel, wprowadzę Lemat Deformacyjny, który następnie wykorzystam do udowodnienia Twierdzenia o Przełęczy Górskiej. To dość nietypowe twierdzenie w kontekście rachunku wariacyjnego, gdzie zazwyczaj mówi się o istnieniu ekstremum.
Ł. Wodnicki, UW O zbieżności punktowej szeregów Fouriera
W moim referacie przedstawię twierdzenia dotyczące punktowej zbieżności szeregów Fouriera, udowodnię istnienie funkcji ciągłej, której szereg Fouriera rozbiega na dowolnym przeliczalnym podzbiorze odcinka oraz opowiem o przykładzie Kołmogorowa funkcji należącej do L^1, której szereg Fouriera nie zbiega do niej wszędzie.
N. Wróżek, UJ Solenoidy, czyli co można zrobić z nieskończenie rozciągliwą gumą
Solenoid to obiekt wprowadzony przez S. Smale’a (1967) służący jako przykład atraktora hiperbolicznego, który można wskazać za pomocą jawnego odwzorowania. Został wykorzystany jako model przez R. Williamsa przy tworzeniu teorii jednowymiarowych atraktorów. Solenoidy mają ciekawą interpretację geometryczną, reprezentują pewne nieco nietypowe własności w kontekście zarówno topologii ogólnej, jak i topologii algebraicznej.W referacie omówię potrzebne do poznania tych obiektów pojęcia i pokrótce omówię wybrane własności solenoidów w kontekście topologii ogólnej i układów dynamicznych.
M. Zdunek, PG Ciągi Dolda i ich zastosowanie w teorii punktów stałych i periodycznych
Ciągi Dolda to ciągi całkowitoliczbowe $\left\{a_n\right\}^\infty_{n=1}$, które spełniają˛ następującą kongruencję $\sum_{d|n}{\mu\left(\frac{n}{d}\right)a_n}\equiv0\pmod n$ dla każdego $n$. Okazuje się, że owe ciągi stanowią˛ bardzo ważne kombinatoryczne narzędzie w teorii punktów stałych i periodycznych. Powiązany jest z nimi ciekawy problem realizacji: Czy posiadając dowolny ciąg Dolda, znajdziemy odwzorowanie ciągłe $f\colon X\rightarrow X$ działające na przestrzeni topologicznej $X$, takie że $\#Fix(f)=a_n$ dla każdego $n$? W referacie postaramy się˛ odpowiedzieć na to pytanie, patrząc na różne aspekty tego zagadnienia.
M. Znamierowski, UW Piękno geometrii rzutowej
Nie trzeba być matematykiem, by cieszyć się pięknem konfiguracji geometrycznych. Trzeba jednak nim być, by zrozumieć czemu one działają! Wielu osobom może się to niestety kojarzyć z obrzydliwymi obliczeniami na liczbach zespolonych czy innych współrzędnych barycentrycznych. A co, jeśli dałoby się okiełznać siłę wektorów, ale bez wszystkich tych rachunków? Otóż: da się! Nazywa się to geometrią rzutową - w trakcie referatu zademonstruję szybki wstęp do tej pięknej i bogatej teorii matematycznej. Omówimy podstawowe własności dwustosunku i przekształceń rzutowych, co pozwoli nam zobaczyć, jak śmiesznie krótkie i wręcz trywialne mogą być dowody potężnych faktów, takich jak twierdzenia Pappusa, Pascala czy Desarguesa (a przy tym, wszelkich wyliczeń uda nam się pozbyć już w pierwszych kilku minutach!). Na koniec zobaczymy też, jak metody rzutowe stosują się w badaniu stożkowych. Zainteresowani? Zapraszam!
J. Ścisłowska, UW Wpływ teoriomnogościowych mocy na wiosenne spacerki po Puszczy Topologów
Topolog niemało spacerował po przestrzeniach topologicznych, które były spójne, ale nie łukowo spójne. Podczas jednej z niezwykłych wędrówek pochwycił słynną sinusoidę warszawską, z której sklecił las sinusoid warszawskich – czyli przestrzeń spójną o nieskończenie wielu składowych łukowej spójności. I nagle topolog usłyszał język węży (matematycznie nazywanych ,,continuami wężowymi”), przekazywany przez nieskończenie wiele łańcuchów, przeplatający się z tajemniczym szumem szeptów nimf mnogościowych, które rzekły topologowi: ,,użyj ultrafiltrów”. I wtedy stała się czysta topologiczność w nadzwyczaj teoriomnogościowym duchu – dzięki nimfom mnogościowym topolog wreszcie wiedział, jak może wiernie opisać swoje dotychczasowe przygody. Wreszcie topolog odwiedził tajemniczą przestrzeń topologiczną zwaną ,,literą W”. Była to niezwykle szalona przestrzeń spójna (badana już niemal 100 lat temu przez mistrza Wilsona), posiadająca continuum składowych łukowej spójności. Wtedy mnogościowe moce odezwały się w pełni w topologu, który wreszcie był w stanie udowodnić, że na ,,literze W” istnieje $2^{continuum}$ parami różnych tras spacerowych, pomimo, że sama przestrzeń ma moc jedynie continuum.
A. Świerczek, UJ Co mają wspólnego Łańcuchy Markowa i gra w Monopoly?
Jak pewnie niektórzy wiedzą, Łańcuchy Markowa stanowią jeden z fundamentów teorii rachunku prawdopodobieństwa, między innymi ze względu na swoje różnorodne i bardzo bogate zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i życia codziennego. W mojej prezentacji chciałbym na początku przybliżyć słuchaczom ich ideę i własności oraz związane z nimi ważne twierdzenie ergodyczne. Następnie zastanowimy się nad różnymi ich zastosowaniami, jak chociażby prognoza pogody czy problem ruiny gracza.
R. Żak, UoC Wolne akcje grup na sferach
Akcja grupy na przestrzeni topologicznej (czy ogólniej, zbiorze) jest wolna, jeśli nietrywialne elementy grupy działają bez punktów stałych. Takie akcje mają szczególnie komfortowe własności. W referacie odpowiemy (prawie) na pytanie, które grupy skończone mogą działać w ten sposób na sferach; przy okazji pobawimy się trochę kohomologiami i reprezentacjami.
